BĐT bậc ...."khủng"!!!

Question

CM: Với $0\leq$$a$$\leq$$b$$\leq$$c$ thì $\frac{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}{a^{2006}+b^{2006}+c^{2006}}$$\leq $$\frac{3}{a+b+c}$

Lionel Messi · Answer 1 · 4/15/2016 8:59:06 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Đặt $x=a^{2015};y=b^{2015};z=c^{2015}$ khi đó BPT thành:

$\frac{x+y+z}{ax+by+cz}\leq \frac{3}{a+b+c}\Rightarrow a(y+z-2x)+b(x+z-2y)+c(x+y-2z)\leq 0$

$\Rightarrow a(y-x)+a(z-x)+b(x-y)+b(z-y)+c(x-z)+c(y-z)\leq 0$

$\Rightarrow (y-x)(a-b)+(z-x)(a-c)+(x-y)(b-c)\leq 0$(1)

Có $(y-x)(a-b)=(b^{2015}-a^{2015})(a-b)=-(a-b)^{2}(a^{2014}+a^{2013}b+...+b^{2014})\leq 0$

CMTT $\Rightarrow $(1)$\Rightarrow $ ĐPCM

Trả lời 15-04-16 08:59 PM

Lionel Messi
17K 1 37 76

169K 513K

2

tran85295 · Answer 2 · 4/14/2016 10:22:50 PM

Bình chọn tăng 12 Bình chọn giảm

Ta có :$VT=\frac{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}{a^{2006}+b^{2006}+c^{2006}} \le \frac{a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}} \Leftrightarrow (\sum a^{2005})^2 \le \sum a^{2004}.\sum a^{2006}$

(đúng theo bđt cauchy-schwarz)

cmtt $ \frac{a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005} } \le \frac{a^{2003}+b^{2003}+c^{2003}}{a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}}$

.........

Từ các bđt trên ta suy ra $VT \le \frac{a^0+b^0+c^0}{a^1+b^1+c^1}=VP$

Vậy ta có đpcm và đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Trả lời 14-04-16 10:22 PM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

chèn ơi,ra vậy ....@@@ – Ngọc 14-04-16 10:27 PM

vậy đó :D – tran85295 14-04-16 10:27 PM

$\sum a^{2005} =a^{2005} b^{2005} c^{2005}$ – tran85295 14-04-16 10:26 PM

viết tắt ấy mà – tran85295 14-04-16 10:26 PM

còn cách khác ko, chỉ e vs – Ngọc 14-04-16 10:25 PM

mấy cái kí hiệu j z? em ko hiểu – Ngọc 14-04-16 10:25 PM

Hỏi	14-04-16 09:57 PM
Lượt xem	1113
Hoạt động	15-04-16 08:59 PM

BĐT bậc ...."khủng"!!!

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT bậc ...."khủng"!!!

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan