$$\color{green}{\begin{cases}x-4\sqrt{x-1}+y-\frac{2(y^{2}+24)}{2y^{2}-1}=0........(1) \\ \sqrt{5x+y-5}+\sqrt{1-x+y}=6........(2) \end{cases}}$$Điều kiện: $\begin{cases}x \ge 1 \\ 5x+y-5 \ge 0 \\ 1-x+y \ge 0 \\ y \ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \ge 1 \\ y \ge x-1 \ge 0 \\ y \ne \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 5x+y-5 \ge 0 \end{cases}$
$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-2)^2=\frac{2(y^{2}+24)}{2y^{2}-1} -y+3$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-2)^2=\frac{-2y^3+8y^2+y+45}{2y^2-1}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-2)^2=-\frac{(y-5)(2y^2+y+9)}{2y^2-1}$
$\pi.$ Xét $0 \le y < \frac{\sqrt{2}}{2} $, ta có:
$-\frac{(y-5)(2y^2+y+9)}{2y^2-1} \ge 0\Rightarrow y \ge 5 \Rightarrow $ không tồn tại $y.$
$\pi.$ Xét $ y > \frac{\sqrt{2}}{2} $, ta có:
$-\frac{(y-5)(2y^2+y+9)}{2y^2-1} \ge 0\Rightarrow y \le 5 \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} < y \le 5........(1)$
Xét PT $(2),$ ta có:
$36=(\sqrt{5x+y-5}+\sqrt{1-x+y})^2 \le (1+\frac{1}{5})(5x+y-5+5-5x+5y)$
$=\frac{36y}{5}\Rightarrow y \ge 5..........(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra: $y=5\Rightarrow x=5.$
Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $\color{red}{(x;y)=(5;5).}$