Help!!!!

Question

Cho

$a,b,c$ là các số thực dương và

$a+b+c=6$ . Chứng minh rằng

$\frac{a^2+bc}{b}+\frac{b^2+ac}{c}+\frac{c^2+ab}{a}\geq a^2+b^2+c^2$

WhjteShadow · Answer 1 · 3/4/2016 10:36:17 PM

Đây chính xác là đề thi HSG Hải Phòng năm 2014. Ta chứng minh BĐT sau:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Giả sử

$b= median$ {

$a,b,c$ }

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b} \geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz kèm theo giả sử trên ta được đpcm. Kết quả trên còn khá lỏng và tất nhiên ta có thể làm mạnh lên:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ac)}{a+b+c}$

Đây chưa phải là hằng số tốt nhất nhưng mình nghĩ bạn có thể xử lí được bằng các BĐT cổ điển.

Trả lời 04-03-16 10:36 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

ảo diệu...thật sự ảo diệu – [_đéo_có_tên_] 10-04-16 01:01 PM

1 Đáp án