Đặt a=$\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}$(có 2010 dấu căn)$\Rightarrow a^{2}=3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}$(có 2009 dấu căn)
$\Rightarrow a^{2}-3=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}$
$\Rightarrow A=\frac{3-a}{6-(a^{2}-3)}=\frac{3-a}{9-a^{2}}=\frac{1}{a+3}$
Do a+3>4$\Rightarrow \frac{1}{a+3}<\frac{1}{4}\Rightarrow A<\frac{1}{4}\Rightarrow $đpcm