Xét các trường hợp:$\pi.$ $n=3k\Rightarrow n^2=9k^2 \vdots 3$
$\pi.$ $n=3k \pm 1\Rightarrow n^2=(3k \pm 1)^2=9k^2 \pm 6k+1$ chia $3$ dư $1.$
$\pi.$ $n=3k \pm 2\Rightarrow n^2=(3k \pm 2)^2=9k^2 \pm 12k+4$ chia $3$ dư $1.$
Do đó: một số chính phương chia cho $3$ không thể có số dư là $2.$