mn giúp với.có chỗ hơi khúc mắc :(

Question

$\begin{cases}xy^2(1+\sqrt{x^2+1})=y+\sqrt{y^2+1} \\ \frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}+4\sqrt{\frac{1}{xy}+3}=\frac{1}{xy}+8 \end{cases}$

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 1 · 8/22/2015 2:35:58 PM

$\color{red}{\begin{cases}xy^2(1+\sqrt{x^2+1})=y+\sqrt{y^2+1}(1) \\ \frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}+4\sqrt{\frac{1}{xy}+3}=\frac{1}{xy}+8(2) \end{cases}}$

Điều kiện:

$-\frac{1}{3}\leq y\leq 2.$

$(2)\Leftrightarrow \frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}=(\sqrt{\frac{1}{xy}+3}-2)^2+1>0\Rightarrow y > \frac{1}{4}.$

$(1)\Leftrightarrow x+x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}(\bigstar)$

Xét

$f(t)=t+t\sqrt{t^2+1},(t \in \mathbb R),$ ta có:

$f(t)$ đồng biến trên

$\mathbb R.$ (điều này dễ chứng minh, a khỏi viết)

Do đó:

$(\bigstar)\Leftrightarrow x=\frac{1}{y}\Leftrightarrow xy=1.$

Thay vào PT

$(2)$ của hệ, ta được:

$\frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}=1$

$\Leftrightarrow 4y-1=\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}$

$\Leftrightarrow 4(y-1)=\sqrt{1+3y}-2+\sqrt{2-y}-1$

$\Leftrightarrow (y-1)(\frac{3}{\sqrt{1+3y}+2}-\frac{1}{\sqrt{2-y}+1}-4)=0$

$\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} y=1\Rightarrow x=1\\ \frac{3}{\sqrt{1+3y}+2}=\frac{1}{\sqrt{2-y}+1}+4(\bigstar \bigstar) \end{array} \right.$

Dễ thấy PT

$(\bigstar \bigstar)$ vô nghiệm vì:

$\star \frac{3}{\sqrt{1+3y}+2} \leq \frac{3}{2}$

$\star \frac{1}{\sqrt{2-y}+1}+4 \geq 4$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:

$\color{red}{(x;y)=(1;1)}$

Click dấu tick nếu đáp án chính xác......(bài này dễ...)

ukm.với bài này thì cái đấy cũng khá quan trọng
Mấu chốt của bài toán là tìm khoảng giới hạn của y, phần còn lại e giải cách nào cũng được, miễn là đúng đáp án...
tại ban đầu e quên ko giới hạn y nên lúc đấy chưa xét đc hàm.khi thay vào pt 2 cũng có thể đặt ẩn phụ để đỡ phải liên hợp :D