Giả thiết phản chứng cả 3 PT đều vô nghiệm, ta có: $\begin{cases}\Delta' _1=b^2-ca<0 \\ \Delta '_2=c^2-ab<0 \\ \Delta '_3=a^2-bc<0 \end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca<0(\bigstar)$
Mặt khác, ta có:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0(\bigstar \bigstar)$
Từ $(\bigstar)$ và $(\bigstar \bigstar)$ suy ra giả thiết phản chứng sai nên ít nhất 1 trong 3 PT đã cho có nghiệm.