BĐT

Question

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

Tìm min

$P=\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 1 · 8/9/2015 9:59:24 AM

Áp dụng bất đẳng thức

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2},$ ta có:

$\mathbb P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+3)^3}+\frac{8}{(z+3)^2}$

$\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)}$

$(1)$

Áp dụng bất đẳng thức

$AM - GM,$ ta có:

$3y+6\geq (x^2+1)+(y^2+4)+(z+1)^2\geq 2x+4y+2z\Leftrightarrow 3\geq x+\frac{y}{2}+z.$

$(2)$

Từ

$(1)$ và

$(2)$ ta có GTNN của

$\mathbb P$ là

$1.$

Đẳng thức xảy ra khi

$x=z=1;y=2.$

Trả lời 09-08-15 09:59 AM

★★.P.I.N.O.★★
39K 4 398 116

2M 4M

7 2

1 Đáp án