x + y + z = 3

Question

Cho

$x + y + z = 3$

tìm max, min:

$P= x^{2} + y^{2} +z^{2} + \frac{xy + yz +zx}{x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x}$

ahihi · Answer 1 · 1/31/2015 8:07:00 PM

Ta có

$(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$ =

$x^2y+y^2z+z^2x$ +

$\sum_{cyc}^{cyc}(x^3+xy^2)\geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)$

(với

$\sum_{cyc}^{cyc}(x^3+xy^2) \geq 2(x^2y+y^2z+z^2x)$ ( áp dụng BĐT Cau chy cho từng cặp )

$=> x^2y+y^2z+z^2x \leq x^2+y^2+z^2$

Lại có :

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=9$

$=> xy+yz+zx=\frac{9-x^2+y^2+z^2}{2}$

$=> P \geq (x^2+y^2+z^2) +\frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}-\frac{1}{2}$

$P\geq t+\frac{9}{2t} -\frac{1}{2}$ ( với

$t=x^2+y^2+z^2$ )

$P \geq \frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$P \geq 3+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}=4$

dấu "=" xảy ra khi

$x=y=z=1$

vote and vote

Trả lời 31-01-15 08:07 PM

ahihi
1K 18 17

93K 200K

3

chưa có điều kiện của t em yêu ới – ๖ۣۜDevilღ 31-01-15 11:35 PM

๖ۣۜDevilღ · Answer 2 · 1/31/2015 7:50:56 PM

Cần trả +2,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 31-01-15 07:50 PM

๖ۣۜDevilღ
9K 47 63

10M 539K

1 3