a. Ta có:
$x^2+2y^2-2xy-12y+4x-19=0$
$\Leftrightarrow x^2-2(y-2)x+2y^2-12y-19=0$
Ta có: $\Delta'=(y-2)^2-(2y^2-12y-19)=-y^2+8y+23$
Để phương trình có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta'$ là số chính phương.
$\Leftrightarrow -y^2+8y+23=k^2;k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow k^2+(y-4)^2=39$, vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.