giúp mình với

Question

cho

$x;y;z >0; x+y+z=1$ . Chứng minh

$\frac{x^{5}}{y^{4}} + \frac{y^{5}}{z^{4}} + \frac{z^{5}}{x^{4}} \geq 1$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 9/30/2014 10:59:08 PM

Ta có:

$\dfrac{x^5}{y^4}+4y=\dfrac{x^5}{y^4}+y+y+y+y\ge5\sqrt[5]{\dfrac{x^5}{y^4}.y.y.y.y}=5x$

Tương tự:

$\dfrac{y^5}{z^4}+4z\ge5y;\dfrac{z^5}{x^4}+4x\ge5z$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{x^5}{y^4}+\dfrac{y^5}{z^4}+\dfrac{z^5}{x^4}\ge x+y+z=1$

Dấu bằng xảy ra khi

$x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Trả lời 30-09-14 10:59 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

WhjteShadow · Answer 2 · 9/25/2014 10:03:05 PM

Cho

$x;y;z >0$ ;

$x+y+z=1$ . Chứng minh

$A=\frac{x^{5}}{y^{4}} + \frac{y^{5}}{z^{4}} + \frac{z^{5}}{x^{4}} \geq 1$

Có

$\frac{x^5}{y^4}+x\geq 2\frac{x^3}{y^2}$ (Cô-si 2 số)

Tương tự rồi cộng lại thì được:

$A\geq 2(\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2})-(x+y+z)$

Xét

$B=\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}$

Có

$\frac{x^3}{y^2}+y+y\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^2}.y.y}=3x$

Tương tự ta được

$B\geq 3(x+y+z)-2(x+y+z)=(x+y+z)$

$\Rightarrow A\geq 2(x+y+z)-(x+y+z)=1$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3

Trả lời 25-09-14 10:03 PM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

2 Đáp án