giúp với

Question

cho các số k âm a , b ,c chứng minh

$a^{2} + b^{2} + c^{2} +3\sqrt[3]{(abc)^{2}} \geq 2 ( ab + bc +ca )$

biểu thức xảy ra khi nào

khangnguyenthanh · Answer 1 · 10/1/2014 2:51:47 PM

Đặt:

$\sqrt[3]{a^2}=x;\sqrt[3]{b^2}=y;\sqrt[3]{c^2}=z$

BĐT cần chứng minh trở thành:

$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge2(\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{z^3x^3}$

Vì vai trò của

$x,y,z$ như nhau, giả sử

$x\ge y\ge z\ge 0$

Khi đó:

$x(x-y)^2+z(y-z)^2+(x+z-y)(x-y)(y-z)\ge0$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$xy(x+y)\ge2xy\sqrt{xy}=\sqrt{x^3y^3}$

Tương tự:

$yz(y+z)\ge2\sqrt{y^3z^3};zx(z+x)\ge2\sqrt{z^3z^3}$

Từ đó suy ra:

$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge2(\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{z^3x^3}$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$a=b=c$

1 Đáp án