Giả sử $n=4k+r$, với $0\le r\le 3$.
Ta có:
$1^n+2^n+3^n+4^n=1^k.1^r+16^k.2^r+81^k.3^r+256^k.4^r\equiv 1^r+2^r+3^r+4^r\;($mod $5)$.
Đặt $S=1^r+2^r+3^r+4^r$.
Với $r=0$ thì $S=4\not\equiv 0\;($mod $5)$.
Với $r=1$ thì $S=10\equiv 0\;($mod $5)$.
Với $r=2$ thì $S=30\equiv 0\;($mod $5)$.
Với $r=3$ thì $S=100\equiv 0\;($mod $5)$.
Suy ra: $1^n+2^n+3^n+4^n$ chia hết cho 5 khi và chỉ khi $n$ không chia hết cho 4.