Bổ đề: Với $a\in\mathbb{Z}$ thì $a^3-a$ chia hết cho 6
Thật vậy, ta có: $a^3-a=(a-1)a(a+1)$, đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp.
Trong 3 số nguyên liên tiếp, tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại 1 số chia hết cho 3, nên tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
Vậy $a^3-a$ chia hết cho 6 với mọi $a\in\mathbb{Z}$
Áp dụng bổ đề ta có: $S-P$ chia hết cho 6.
Suy ra: $S$ chia hết cho 6 $\Leftrightarrow P$ chia hết cho 6.