Ta có:
$a^2+2b^2\ge2\sqrt2ab$
$2b^2+c^2\ge2\sqrt2bc$
$4c^2+\dfrac{1}{2}d^2\ge2\sqrt2cd$
$4a^2+\dfrac{1}{2}d^2\ge2\sqrt2ad$
$\Rightarrow 5a^2+4b^2+5c^2+d^2\ge2\sqrt2(ab+bc+cd+da)$
$\Rightarrow P=\dfrac{5a^2+4b^2+5c^2+d^2}{ab+bc+cd+da}\ge2\sqrt2$
$\min P=2\sqrt2 \Leftrightarrow 2\sqrt2a=4b=2\sqrt2c=d$