$cosx+cos3x+2cos5x=0$$\Leftrightarrow 2cosx.cos2x+2cos(3x+2x)=0$
$\Leftrightarrow cosx.cos2x+cos3x.cos2x-sin3x.sin2x=0$
$\Leftrightarrow cos2x(cosx+cos3x)-2sin3x.cosx.sinx=0$
$\Leftrightarrow 2cox^{2}2x.cosx-2sin3x.cosx.sinx=0$
$\Leftrightarrow cosx(2cox^{2}2x-2sin3x.sinx)=0$
$\Leftrightarrow cosx(2cos^{2}2x+cos4x-cos2x)=0$