điều kiện $x \geq 1/2 $
đặt $\sqrt{2x-1} =t, t \geq 0$
dễ thấy
$\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1} } -2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1} }+3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1} }=4 $
$\leftrightarrow \sqrt{(t-1)^2}-2\sqrt{(t-2)^2}+3\sqrt{(t-3)^2} =4$
$\leftrightarrow |t-1|-2|t-2|+3|t-3| =4$ (1)
+) $0\leq t\leq 1$
(1)$\leftrightarrow 1-t-2(2-t)+3(3-t)=4 \to t = 1 $ (*)
+) $1 <t \leq 2$
(1)$\leftrightarrow t-1-2(2-t)+3(3-t)=4 \leftrightarrow 0=0 $ đúng với mọi $1<t\leq 2$ (**)
+) $2 <t \leq 3$
(1)$\leftrightarrow t-1-2(t-2)+3(3-t)=4 \leftrightarrow t=2 $ loại
+) $t >3$
(1)$\leftrightarrow t-1-2(t-2)+3(t-3)=4 \leftrightarrow t=5 \to x = 13$ (***)
từ (*), (**) ta có phương trình có nghiệm
$1\leq \sqrt{2x-1}\leq 2$
$1\leq 2x-1\leq 4$
$1\leq x \leq 5/2$
kết hợp với (***) thì phương trình có nghiệm
$x=13$ hoặc $1\leq x \leq 5/2$