giải phương trình

Question

$2012^{sin^{2}x} - 2012^{cos^{2}x} = cos2x$

diendien_01 · Answer 1 · 6/17/2014 11:21:39 PM

dễ thấy phương trình trên có nghiệm

$x = \pi/4+k\pi/2$

ta sẽ đi chứng mình trong các miền khác phương trình vô nghiệm

thật vậy

Xét

$-\pi/4+k\pi <x<\pi/4+k\pi$

$\to |\sin x| <|\cos x| \to 2012^{\sin^2x} -2012^{\cos^2x}< 0$

khi đó

$-\pi/2 +2k\pi< 2x < \pi/2 +2k\pi \to \cos 2x >0$

điều đó chứng tỏ phương trình vô nghiệm trong khoảng

$-\pi/4+k\pi <x<\pi/4+k\pi$

trong miền

$\pi/4+k\pi <x<3\pi/4+k\pi$

thì

$|\sin x|>|\cos x| \to 2012^{\sin^2x} -2012^{\cos^2x}> 0$

trong khi

$\pi/2 +2k\pi< 2x < 3\pi/2 +2k\pi \to \cos 2x <0$

Điều đó chứng tỏ phương trình vô nghiệm trong khoảng

$\pi/4+k\pi <x<3\pi/4+k\pi$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

$x = \pi/4 +k\pi/2 (k\in Z)$

Nhớ vote

1 Đáp án