Giả sử $z=a+bi,a,b\in\mathbb{R}$
Khi đó ta có:
$w=(z-2)(\overline{z}+2i)$
$=(a-2+bi)(a-bi-2i)$
$=a^2+b^2-2a-2b+(2a+2b-4)i$
Để $w$ thuần ảo ta có:
$a^2+b^2-2a-2b=0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2=2(a+b)$
$\Rightarrow (a^2+b^2)^2=4(a+b)^2$
$\Rightarrow (a^2+b^2)^2\le8(a^2+b^2)$
$\Rightarrow a^2+b^2\le8$
$\Leftrightarrow |z|\le\sqrt8$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=2 \Leftrightarrow z=2+2i$