lâu lâu lâu thì ta mới hỏi 1 lần. hỏi 1 lần cho đáng luôn đê...

Question

Cho pt

$x^5-\frac{1}{2}x^4-5x^3+x^2+4x-1=0$

Với

$x_i(i=\overline{1,5} )$ là nghiệm của pt

Tính

$S=\sum_{i=1}^{5}\frac{x_i+1}{2x_i^5-x_i^4-2}$

bài này ta dựa vào 1 nhận xét rất hay đó là Nếu phương trình $f(x)=0$ có $x_i(i=\overline{1,n})$ nghiệm khi đó ta sẽ có $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(x_i)'}=0$ Dựa vào đây chắc bạn làm được rồi :)))))

Nero · Answer 1 · 6/5/2014 9:58:39 PM

Đặt

$f(x)=x^5_i-\frac{1}{2}x^4_i-5x^3_i+x^2_i+4x_i-1 (1)$

Ta có

$x_i$ là nghiệm của phương trình (1) nên:

$x_i^5-\frac{1}{2}x_i^4-5x^3_i+x^2_i+4x_i-1=0$

$\Leftrightarrow 2x^5_i-x^4_i-2=2(5x^3_i-x^2_i-4x_i)$

Do đó:

$S=\sum_{i=1}^{5}\frac{x_i+1}{2x^5_i-x^2_i-2}=\sum_{i=1}^{5}\frac{x_i+1}{2(5x^3_i-x^2_i-4x_i)}$

Xét biểu thức

$g(x)=\frac{x+1}{5x^3-x^2-4x}=\frac{x+1}{x(x-1)(5x+4)}=-\frac{1}{4x}+\frac{2}{9(x-1)}+\frac{5}{36(5x+4)}$

$\Rightarrow S=-\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i}+\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i-1}+\frac{1}{72}\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i+\frac{4}{5}} (*)$

Mặt khác

$f(x)$ viết lại là:

$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_5)$

Đạo hàm:

$f'(x)=(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_5)+(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)+...+(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$

Với

$x\neq x_i(i=\overline{1,5})$ ta được

$\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x-x_i}$ và

$f'(x)=5x^4-2x^3-15x^2+2x+4$

$\frac{f'(1)}{f(1)}=\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x-x_i}\Rightarrow \sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i-1}=-\frac{f'(1)}{f(1)}=-12$
$\frac{f'(0)}{f(0)}=\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{-x_i}\Rightarrow \sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i}=-\frac{f'(0)}{f(0)}=4$
$\frac{f'(-\frac{4}{5})}{f(-\frac{4}{5})}=\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{-\frac{4}{5}-x_i}\Rightarrow \sum_{i=1}^{5}\frac{1}{x_i+\frac{4}{5}}=-\frac{f'(-\frac{4}{5})}{f(-\frac{4}{5})}=-\frac{12900}{4789}$