c):ta C/M được : MN song song vs BC và AO vuông góc vs MN $\rightarrow $ AO vuông góc vs BC
OM vuông góc vs AB ( vì AM là tiếp tuyến của (O) )
xét $\triangle $ AOB vuông tại O có OM là đường cao ( áp dụng hệ thức lương tam giác ta có):
$MA \times MA =OM^{2} $
$ \rightarrow MA \times MB = R^{2}$
d):
Ta có :
$ \triangle $ABC cân tại A $ \rightarrow \widehat{OBP}=\frac{180-\widehat{BAC}}{2} $ (1)
Lại có :$\widehat{MON}=180-\widehat{BAC} $(2)
dễ dang cm được $\widehat{MON}=2\widehat{POQ}$ (3) ( dựa vào hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra phân giác )
từ (1),(2),(3) $ \rightarrow \widehat{OBP}=\widehat{POQ}$
Xét tam giác $\triangle $ OBP và $ \triangle $ QPO có :
$ \widehat{OPB}=\widehat{OPQ}$ ( tính chất hai tiếp truyến cắt nhau )
$ \widehat{OBP}=\widehat{POQ}$
$\rightarrow \triangle OBP \approx \triangle QPO ( g.g)$ (4)
tượng tự cm dk : $ \triangle POQ \approx \triangle OCQ$ (5 )
tự (4),(5) $\rightarrow \triangle BOP \approx \triangle CQO$
$ \rightarrow \frac{BP}{BO}=\frac{OC}{CQ}$
$\rightarrow $ BP x CQ = BO x OC $ \rightarrow $ BPxCQ=BC x BC /4 ( vì BC = 2 OB=2OC)
xong