1. Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge y>0$. Áp dụng BĐT Trê-bư-sép:
$\begin{cases}x\ge y \\ x^3 \ge y^3 \end{cases}\Rightarrow 2(x.x^3+y.y^3) \ge (x+y)(x^3+y^3)$$\Rightarrow 2(x^4+y^4) \ge (x+y)(x^3+y^3)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Trê-bư-sép:
$\begin{cases}x^4\ge y^4 \\ x^7 \ge y^7 \end{cases}\Rightarrow 2(x^4.x^7+y^4.y^7) \ge (x^4+y^4)(x^7+y^7)$$\Rightarrow 2(x^{11}+y^{11}) \ge (x^4+y^4)(x^7+y^7)$.
Kết hợp ta có
$4(x^{11}+y^{11}) \ge 2(x^4+y^4)(x^7+y^7) \ge (x+y)(x^3+y^3)(x^7+y^7),$ đpcm.