$n^{n+1}> (n+1)^n (*) \forall n\geq 3, n\in Z$Với $n=3$ thì $(*)\Leftrightarrow 3^4> 4^3\Leftrightarrow 81>64$ đúng
G/s $(*)$ đúng với n=k, ta có: $k^{k+1}>(k+1)^k$
Ta cm $(*)$ cũng đúng khi n=k+1: $(k+1)^{k+2}>(k+2)^{k+1}$
Thật vậy theo gt qui nạp ta có:
$k^{k+1}.(k+1)^{k+2}>(k+1)^k.(k+1)^{k+2}=(k+1)^{2k+2}$
$\Rightarrow (k+1)^{k+2}>\left[\frac{(k+1)^2}{k} {} \right]^{k+1}=(k+2+k^{-1})^{k+1}>(k+2)^{k+1}$
Vậy ta có đpcm