BĐT cần CM $\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{R}\leq 3\sqrt{3}\Leftrightarrow 2(\sin A+\sin B+\sin C)\leq 3\sqrt{3}$$\Leftrightarrow \sum_{}^{}\sin A\leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $
Xét $f(x)=\sin x, x\in (0;\pi)$
$f'(x)=\cos x$ $f''(x)=-\sin x<0 \forall x\in(0;\pi)$
$\Rightarrow f(x)$ là hàm lõm
Áp dụng Jensen: $\sum_{}^{} f(A)\leq 3.f(\frac{A+B+C}{3})$
$\Leftrightarrow \sum_{}^{} \sin A\leq 3.\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đpcm)