Giả sử $\dfrac{3\sqrt x+11}{\sqrt x+2}=k\in\mathbb{Z}$.
Khi đó ta có:
$3\sqrt x+11=k(\sqrt x+2) \Leftrightarrow (k-3)\sqrt x=11-2k \Leftrightarrow \sqrt x=\dfrac{11-2k}{k-3}$.
Vì $\sqrt x\ge0 \Rightarrow \dfrac{11-2k}{k-3}\ge0 \Leftrightarrow 3<k\le\dfrac{11}{2}$
Mà $k\in\mathbb{Z} \Rightarrow k\in\{4;5\}$.
Với $k=4$, ta có: $\sqrt x=3 \Leftrightarrow x=9$, thỏa mãn.
Với $k=4$, ta có: $\sqrt x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$, thỏa mãn.
Vậy $x\in\{9;\dfrac{1}{4}\}$