Chứng minh số nguyên

Question

Cho 2 số thực $x,y$ sao cho $x+y; x^2+y^2; x^4+y^4$ là các số nguyên
Chứng minh $x^3+y^3$ cũng là số nguyên

khangnguyenthanh · Answer 1 · 8/5/2013 11:18:42 PM

Ta có:

$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2) \Rightarrow 2xy\in\mathbb{Z}$

$2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(x^4+y^4) \Rightarrow 2x^2y^2\in\mathbb{Z}$

Giả sử: $2xy=k\in\mathbb{Z}$

Suy ra: $2x^2y^2=\dfrac{k^2}{2}\in\mathbb{Z} \Rightarrow k\,\vdots\,2 \Rightarrow xy=\dfrac{k}{2}\in\mathbb{Z}$.

Từ đó suy ra: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\in\mathbb{Z}$

Trả lời 05-08-13 11:18 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

NguyễnTốngKhánhLinh · Answer 2 · 8/5/2013 10:13:29 PM

Có $x^4+y^4 =(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$

Vì $x^4+y^4, x^2+y^2 \in Z \Rightarrow 2(xy)^2 \in Z \Rightarrow xy \in Z$

Xét $x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)$

Vì $x+y,x^2+y^2$ và $xy$ đều thuộc $Z \Rightarrow x^3+y^3 \in Z$

Trả lời 05-08-13 10:13 PM

NguyễnTốngKhánhLinh
7K 1 6 20

181K 96K

3 2

lời giải của bạn có đoạn suy ra xy nguyên là làm chưa chặt. – khangnguyenthanh 05-08-13 11:19 PM

Nếu đáp án của mình đúng, bạn nhấn V để chấp nhận và nhấn mũi tên để vote up nha. Cảm ơn :) – NguyễnTốngKhánhLinh 05-08-13 10:14 PM

khiconmatloi · Answer 3 · 8/8/2013 4:36:38 PM

2xy=(x+y)2−(x2+y2)⇒2xy∈Z

2x2y2=(x2+y2)2−(x4+y4)⇒2x2y2∈Z

Giả sử:

2xy=k∈Z

Suy ra:

2x2y2=k22∈Z⇒k⋮2⇒xy=k2∈Z.

Từ đó suy ra:

x3+y3=(x+y)3−3xy(x+

Trả lời 08-08-13 04:36 PM

khiconmatloi
-9361 1 4

1K 14K

87 7

sao bài của bạn lại giống của khangnguyenthanh vậy – phuong98neu 09-08-13 03:03 PM

3 Đáp án