Do $B$, $D$ cách đều $S$, $A$, $C$ nên $BD\perp (SAC)$.
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$.
Các tam giác $ABD, BCD, SBD$ là các tam giác cân bằng nhau có dáy $BD$ chung, nên $OA=OC=OS$.
Do đó $\Delta ASC$ vuông tại $S$.
Ta có:
$V_{S.ABCD}=2V_{S.ABC}=2.\dfrac{1}{6}.BO.SA.SC=\dfrac{1}{3}ax\sqrt{AB^2-OA^2}$
$=\dfrac{1}{3}ax\sqrt{a^2-\dfrac{a^2+x^2}{4}}=\dfrac{1}{6}ax\sqrt{3a^2-x^2}$
$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt2}{6} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}ax\sqrt{3a^2-x^2}=\dfrac{a^3\sqrt2}{6} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=a\\x=a\sqrt2\end{array}\right.$