Giả sử $a,b>3$
Nếu $a\equiv 1$ (mod $3$), $b\equiv 1$ (mod $3$) $\Rightarrow a^3-b^5\equiv 0$ (mod $3$), $(a+b)^2\equiv 1$ (mod $3$), loại.
Nếu $a\equiv 1$ (mod $3$), $b\equiv 2$ (mod $3$) $\Rightarrow a^3-b^5\equiv 2$ (mod $3$), $(a+b)^2\equiv 0$ (mod $3$), loại.
Nếu $a\equiv 2$ (mod $3$), $b\equiv 1$ (mod $3$) $\Rightarrow a^3-b^5\equiv 1$ (mod $3$), $(a+b)^2\equiv 0$ (mod $3$), loại.
Nếu $a\equiv 2$ (mod $3$), $b\equiv 2$ (mod $3$) $\Rightarrow a^3-b^5\equiv 0$ (mod $3$), $(a+b)^2\equiv 1$ (mod $3$), loại.
Suy ra không tồn tại các số nguyên tố $a,b>3$ thỏa mãn.
Nếu $a=3 \Rightarrow b^5<27$, vô lý.
Nếu $b=3 \Rightarrow a^3-243=(a+3)^2 \Leftrightarrow a=7$.
Vậy $(a,b)=(7,3)$.