Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\dfrac{4}{(a+b)^3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3}{a+b}$
$\Rightarrow \dfrac{4}{(a+b)^3}\ge\dfrac{3}{a+b}-1=\dfrac{a+b+c}{a+b}-1=\dfrac{c}{a+b}$
Tương tự ta có: $\dfrac{4}{(b+c)^3}\ge\dfrac{a}{b+c},\dfrac{4}{(c+a)^3}\ge\dfrac{b}{c+a}$.
Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$