Với Đk $x>0$ BPT được viết lại: $\sqrt{\frac{x^2+1+x}{x}.\frac{x^2+1-x}{x^2+1}}\geq \sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}-\frac{x^2+x+1}{x}+1$
Đặt: $a=\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}, b=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}$ khi đó BPT trở thành $ab\geq a-b^2+1$
$\Leftrightarrow (a+1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow b\geq 1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\geq 1 \forall x>0$
Vậy tập nghiệm của BPT $S=(0;+\infty )$