BĐT đã cho tương đương với: $(3a-b-c)(3b-a-c)(3c-a-b)\le abc$.
Ta có BĐT sau: $xy\le\dfrac{(x+y)^2}{4},\forall x,y\in\mathbb{R}$
Áp dụng BĐT trên ta có:
$(3a-b-c)(3b-a-c)\le (a+b-c)^2$
$(3b-a-c)(3c-a-b)\le (b+c-a)^2$
$(3a-b-c)(3c-a-b)\le (a+c-b)^2$
$(a+b-c)(a+c-b)\le a^2$
$(a+b-c)(b+c-a)\le b^2$
$(a+c-b)(b+c-a)\le c^2$
Từ đó suy ra: $(3a-b-c)^2(3b-a-c)^2(3c-a-b)^2\le a^2b^2c^2$
$\Rightarrow (3a-b-c)(3b-a-c)(3c-a-b)\le abc$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$