$x^2-mx+m-1=0 $ có $\Delta >0 \forall m\neq 2$ $*$ Ta có $R=\frac{2x_{1}x_{2}+3}{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+2(1+x_{1}x_{2})}=\frac{2x_1x_2+3}{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2(1+x_1x_2)}$
$=\frac{2(m-1)+3}{m^2-2(m-1)+2(1+m-1)}=\frac{2m+1}{m^2+2}$
Ta có $R'=\frac{2(m^2+2)-(2m+1)2m}{(m^2+2)^2}=\frac{-2m^2-2m+4}{(m^2+2)^2}$
$R'=0<=>m=-2 hoặc m=1$
$R(-2)=-\frac{1}{2}$
$R(1)=1$
Vậậy giá trị lớn nhất đạt được khi m=1 thoả mãn điều kiên $*$