Lại đặt z=a+bi|z+1−5i|=|¯z+3−i|
⇔|a+1+(b−5)i|=|a+3−(b+1)i|
⇔(a+1)2+(b−5)2=(a+3)2+(b+1)2
⇔a2+2a+1+b2−10b+25=a2+6a+9+b2+2b+1
⇔2a−10b+26=6a+2b+10
⇔4a+12b−16=0
⇔a+3b−4=0
Khi đó
|z−4−10i|=|a−4+(b−10)i|
=√(a−4)2+(b−10)2
Module này nhỏ nhất khi (a−4)2+(b−10)2 nhỏ nhất
Thay a=4−3b ta có
(a−4)2+(b−10)2=9b2+b2−20b+100=10b2−20b+100
=10(b2−2b+10)=10((b−1)2+9)≥90
Dấu bằng có khi b=1⇒a=1⇒z=1+i