Cách chứng minh sau đây sử dụng hình họcGọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ , bán kính $R$
$A_1, B_1 , C_1$ lần lượt là trung điểm $BC , CA , AB$
Khi đó
$\widehat{BOC}=2\widehat{A}\Rightarrow \widehat{BOA_1}=\widehat{A}$
$\Rightarrow cosA=cos\widehat{BOA_1}=\frac{OA_1}{R}$
$\Rightarrow 2acosA=\frac{2BC.OA_1}{R}=\frac{S\triangle BOC}{R}$
Tương tự
$2bcosB=\frac{S\triangle AOC}{R} , 2ccosC=\frac{S\triangle AOB}{R}$
$\Rightarrow 2(acosA+bcosB+ccosC)=\frac{S\triangle ABC}{R}$
Còn $a+b+c=\frac{S\triangle ABC}{2r}$
Đến đây ta áp dụng BĐT $R\ge 2r$