Bất đẳng thức khó!

Question

Cho

$a,b,c$ dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+2bc+ac}.$

binhnguyenhoangvu · Answer 1 · 5/9/2013 10:16:34 PM

Cách chọn điểm rơi:

Do vai trò của b và c như nhau, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy như sau:

$\frac{1}{2}{a^2} + x{b^2} \ge \sqrt {2x} .ab$

$\frac{1}{2}{a^2} + x{c^2} \ge \sqrt {2x} .ac$

$(1 - x){b^2} + (1 - x){c^2} \ge 2(1 - x)bc$

Cộng vế theo vế, ta được:

${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \sqrt {2x} .ab + 2(1 - x)bc + \sqrt {2x} .ac$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \sqrt {2x} \left[ {ab + 2\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}bc + ac} \right]$

Theo yêu cầu bài toán thì:

$\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2x} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0,0 < x < 1 \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 3$

Tới đây, ta thế

$x = 2 - \sqrt 3$ vào 3 BĐT ban đầu để tìm GTNN của P.

khangnguyenthanh · Answer 2 · 5/9/2013 6:06:14 PM

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$\dfrac{1}{2}a^2+(2-\sqrt3)b^2\ge2\sqrt{\dfrac{2-\sqrt3}{2}}ab=(\sqrt3-1)ab$

$\dfrac{1}{2}a^2+(2-\sqrt3)c^2\ge2\sqrt{\dfrac{2-\sqrt3}{2}}ac=(\sqrt3-1)ac$

$(\sqrt3-1)b^2+(\sqrt3-1)c^2\ge2(\sqrt3-1)bc$

Từ đó suy ra:

$a^2+b^2+c^2\ge(\sqrt3-1)(ab+2bc+ca) \Rightarrow P\ge\sqrt3-1$

$\min P=\sqrt3-1 \Leftrightarrow a=(\sqrt3-1)b=(\sqrt3-1)c$

Trả lời 09-05-13 06:06 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

Bạn ơi, Làm sao để biết Min = căn 3 -1 để chọn điểm rơi vậy! – Vô Minh 09-05-13 07:49 PM

2 Đáp án