$(C):y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = 1 + \frac{3}{{x -
1}},(d):x + y - 2 = 0$
$M \in (C) \Rightarrow M(m;1 + \frac{3}{{m - 1}}),m \ne 1$
$d(M;(d)) = \frac{{\left| {m + 1 + \frac{3}{{m - 1}} - 2}
\right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {m - 1 + \frac{3}{{m - 1}}}
\right|}}{{\sqrt 2 }}$
Khi m > 1, theo định lí Cô-si, ta có:
$m - 1 + \frac{3}{{m - 1}} \ge 2\sqrt {(m - 1)\frac{3}{{m -
1}}} = 2\sqrt 3 $
$\Rightarrow d(M;(d)) \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} =
\sqrt 6 .$
Khi m < 1, ta viết lại: $d(M;(d)) = \frac{{\left| {1 - m
+ \frac{3}{{1 - m}}} \right|}}{{\sqrt 2 }}$
Theo định lí Cô-si, ta có:
$1 - m + \frac{3}{{1 - m}} \ge
2\sqrt {(1 - m)\frac{3}{{1 - m}}} =
2\sqrt 3 $
$\Rightarrow d(M;(d)) \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} =
\sqrt 6 .$
Vậy khoảng cách lớn nhất từ M đến đường thẳng (d) là $\sqrt
6 $ khi
\[\left| {m - 1} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 1}
\right|}} \Leftrightarrow {(m - 1)^2} = 3 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt 3 \]Tương
ứng với hai giá trị của m, ta tìm được hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán:
\[{M_1}(1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 ),{M_2}(1 - \sqrt 3 ;1 -
\sqrt 3 ).\]