Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a+b)(b+c)(c+a)=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} a=-b\\b=-c\\c=-a \end{array} \right.\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=-b;c=1\\b=-c;a=1\\c=-a;b=1 \end{array} \right.$
Từ đó suy ra: $A=1$