Bài này bạn có thể chứng mình bằng quy nạp toán học ,hoăc làm như sau:
Do n không chia hết cho 3 nên
-Nếu n=3k+1 bài toán trở thành x6k+2+x3k+1+1 chia hết cho x2+x+1 (*)
Thật vậy : (x6k+2−x2)+(x3k+1−x)+x2+x+1=x2(x6k−1)−x(x3k−1)+x2+x+1
Do x3−1=(x−1)(x2+x+1) chia hết cho x2+x+1 nên x6k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1
x3k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1
Suy ra (*) đúng
-Nếu n=3k+2 bài toán trở thành x6k+4+x3k+2+1 chia hết cho x2+x+1 (**)
Thật vậy : (x6k+2−x4)+(x3k+2−x2)+x4+x2+1=x4(x6k−1)−x2(x3k−1)+(x4+2x2+1)−x2
Do x3−1=(x−1)(x2+x+1) chia hết cho x2+x+1 nên x6k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1
x3k−1 chia hết cho x3−1 chia hết cho x2+x+1
Và (x4+2x2+1)−x2=(x2+1)2−x2=(x2+1+x)(x2+1−x) chia hết cho x2+x+1
Suy ra (**) đúng
Từ (*) và (**) suy DPCM