Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\frac{1}{3+\sin x}+\frac{1}{3-\sin x}-\frac{2}{2+\cos x}\le 0$
$\Leftrightarrow \frac{6}{9-\sin^2x}-\frac{2}{2+\cos x}\le 0$
$\Leftrightarrow \frac{6}{8+\cos^2x}-\frac{2}{2+\cos x}\le0$
$\Leftrightarrow -\frac{(1-\cos x)(2-\cos x)}{(8+\cos^2x)(2+\cos x)}\le0$
BĐT trên luôn đúng vì: $1-\cos x\ge0,2-\cos x>0,(8+\cos^2x)(2+\cos x)>0$.
Dấu bằng xảy ra khi: $\cos x=1 \Leftrightarrow x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}$