|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Sử dụng đồng nhất thức: $\tan ^3x=\tan ^2x.\tan x=(\frac{1}{\cos ^2x}-1)\tan x=\tan x.\frac{1}{\cos ^2x}-\frac{\sin x}{\cos x} $ Ta được: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \tan x.\frac{1}{\cos ^2x}dx-\int\limits \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int\limits \tan xd(\tan x)+\int\limits \frac{d(\cos x)}{\cos x} $ $=\frac{1}{2}\tan ^2x+\ln|\cos x|+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\frac{1}{2}\int\limits (\cos 3x+\cos x)dx=\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{1}{2} sin x+C $ 2. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\cos^3xdx=\frac{1}{4}\int\limits (\cos 3x+3\cos x)dx=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}\sin3x+3\sin x)+C $ $=\frac{1}{12}\sin 3x +\frac{3}{4}\sin x+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{dx}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1} }=\int\limits \frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})dx }{x+3-x-1} $ $=\frac{1}{2}\int\limits [(x+3)^{\frac{1}{2} }-(x+1)^{\frac{1}{2} }]dx =\frac{1}{3}[(x+3)^{\frac{3}{2} }-(x+1)^{\frac{3}{2} }] +C$ 2. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}-x }=\int\limits \frac{x(\sqrt{x^2+1}+x )dx}{x^2+1-x^2} =\int\limits x \sqrt{x^2+1}dx+\int\limits x^2dx $ $=\frac{1}{2}\int\limits (x^2+1)^{\frac{1}{2} }d(x^2+1)+\int\limits x^2dx=\frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2} } +\frac{1}{6}x^3 +C $
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số: 1. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1} } $ 2. $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}-x } $
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits x \sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}\int\limits [(2x+1)-1](2x+1)^{\frac{1}{2} }dx $ $=\frac{1}{2}\int\limits [(2x+1)^{\frac{3}{2}}-(2x+1)^{\frac{1}{2} }]dx=\frac{1}{2}[\frac{2}{5}(2x+1)^{\frac{5}{2} }-\frac{2}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2} } ] +C$ $=\frac{1}{5}(2x+1)^{\frac{5}{2} }-\frac{1}{3}(2x+1)^ {\frac{3}{2} }+C $ 2. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits x(\sqrt{x+1}+\sqrt[5]{1-x})dx=\int\limits x \sqrt{x+1} dx +\int\limits x \sqrt[5]{1-x}dx $ $=\int\limits [(x+1)-1](x+1)^{\frac{1}{2} }dx+\int\limits [1-(1-x)](1-x)^{\frac{1}{5} }dx$ $=\int\limits [(x+1)^{\frac{3}{2} }-(x+1)^{\frac{1}{2} } ]d(x+1)-\int\limits [(1-x)^{\frac{1}{5} }-(1-x)^{\frac{6}{5} }]d(1-x)$ $=\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2} }-\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2} }-\frac{5}{6}(1-x)^{\frac{6}{5} }+\frac{5}{11}(1-x)^{\frac{11}{5} }+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta có: $\int\limits f(x)=\int\limits \frac{xdx}{2x+1} =\frac{1}{2}\int\limits (1-\frac{1}{2x+1})dx=\frac{1}{2}(\int\limits dx-\int\limits \frac{dx}{2x+1}) $ $=\frac{1}{2}[\int\limits dx-\frac{1}{2}\int\limits \frac{d(2x+1)}{2x+1} ]=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \ln |2x+1|+C $ 2. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{xdx}{x^2+2x+1}=\int\limits \frac{[(x+1)-1]}{(x+1)^2}dx=\int\limits \frac{dx}{x+1} -\int\limits \frac{dx}{(x-1)^2} $ $=\ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta biến đổi: $F(x)= \int\limits (x-1)(x-2)dx=\int\limits (x^2-3x+2)dx= \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+C $ 2. Sử dụng đồng nhất đẳng thức $x-2=(x-1)-1$ ta được: $f(x)=(x-1)^{2012}[(x-1)-1] =(x-1)^{2013}-(x-1)^{2012}$ Khi đó: $F(x)=\int\limits [(x-1)^{2013}-(x-1)^{2012}]dx=\int\limits [(x-1)^{2013}-(x-1)^{2012}]d(x-1)$ $=\frac{(x-1)^{2013}}{2013}-\frac{(x-1)^{2012}}{2012} +C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Ta biến đổi về dạng: $f(x)=\frac{2(4-x)-x}{2 \sqrt{4-x} }=\sqrt{4-x}+\frac{-1}{2 \sqrt{4-x} }.x=(x)'.\sqrt{4-x}+(\sqrt{4-x}) '.x $ Xét hàm số $F(x)=x \sqrt{4-x} $, nhận xét rằng: $F '(x)=\sqrt{4-x}+\frac{-x}{2 \sqrt{4-x} }=\frac{8-3x}{2 \sqrt{4-x} } =f(x) $ Vậy ta được $F(x)=x \sqrt{4-x} +C$ là họ nguyên hàm của hàm số đã cho
|
|
|