|
giải đáp
|
Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Ta xét hai trường hợp: +) Trường hợp 1: Với $\begin{cases}x+1>0 \\ x+2>0 \end{cases} \leftrightarrow x>-1$ Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2} $, suy ra: $dt=(\frac{1}{2 \sqrt{x+1} }+\frac{1}{2 \sqrt{x+2} })dx=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})dx }{2\sqrt{(x+1)(x+2)}} $ $\leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{(x+1)(x+2)}}=\frac{2dt}{t} $ $\leftrightarrow \int\limits \frac{dx}{\sqrt{(x+1)(x+2)}}=\int\limits \frac{2dt}{t} = 2ln|t|=2\ln|\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}|+C$ +) Trường hợp 2: Với $\begin{cases}x+1<0 \\ x+2<0 \end{cases} \leftrightarrow x<-2$ Đặt $t=\sqrt{-(x+1)}+\sqrt{-(x+2)} $, suy ra: $dt=[-\frac{1}{2 \sqrt{-(x+1)} }-\frac{1}{2 \sqrt{-(x+2)} }]dx=-\frac{(\sqrt{-(x+1)}+\sqrt{-(x+2)})dx }{2\sqrt{(x+1)(x+2)}} $ $\leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{(x+1)(x+2)}}=-\frac{2dt}{t} $ $\leftrightarrow \int\limits \frac{dx}{\sqrt{(x+1)(x+2)}}=-\int\limits \frac{2dt}{t} = -2ln|t|=-2\ln|\sqrt{-(x+1)}+\sqrt{-(x+2)}|+C$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
1. Đặt $t=x+\sqrt{x^2-1} $, suy ra: $t-x=\sqrt{x^2-1} \Rightarrow t^2-2xt+x^2=x^2-1\Rightarrow x=\frac{t^2+1}{2t} \Rightarrow dx=\frac{t^2-1}{2t^2}dt $ Khi đó: $\int\limits \frac{2xdx}{x+\sqrt{x^2-1} }=\int\limits \frac{2.\frac{t^2+1}{2t}.\frac{t^2-1}{2t^2}.dt }{t} =\int\limits \frac{(t^4-1)dt}{2t^4}=\frac{1}{2}\int\limits (1-\frac{1}{t^4})dt $ $=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{3t^3})+C=\frac{1}{2}( x+\sqrt{x^2-1})+\frac{1}{6(x+\sqrt{x^2-1})^3}+C $ 2. Đặt $t=x+\sqrt{x^2+a}$, suy ra: $dt=(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a} })dx=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a} }dx \Leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{x^2+a} }=\frac{dt}{t} $ Khi đó: $\int\limits \frac{dx}{\sqrt{x^2+a} }=\int\limits \frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|x+\sqrt{x^2+a}| +C$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Đặt $t=x^4$, suy ra $dt=4x^3$. Khi đó: $\int\limits \frac{x^3}{x^8-2}=\frac{1}{4}\int\limits \frac{dt}{t^2-2}=\frac{1}{8 \sqrt{2} }\int\limits (\frac{1}{t-\sqrt{2} }-\frac{1}{t+\sqrt{2} } )dt $ $=\frac{1}{8 \sqrt{2} }(\ln|t-\sqrt{2}|-\ln|t+\sqrt{2} |=\frac{1}{8 \sqrt{2} }\ln |\frac{t-\sqrt{2} }{t+ \sqrt{2} } |+C $ $=\frac{1}{8 \sqrt{2} }\ln|\frac{x^4-\sqrt{2} }{x^4+\sqrt{2} } |+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau:
|
|
|
1. Đặt $u=x^2+4x+3$, suy ra: $du=(2x+4)dx=2(x+2)dx \leftrightarrow (x+2)dx=\frac{1}{2}du $ Từ đó: $\int\limits \frac{(x+2)dx}{x^2+4x+3} =\frac{1}{2}\int\limits \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|=\frac{1}{2}\ln|x^2+4x+3|+C $ 2. Đặt $u=\cos(2x+1)$, suy ra: $du=-2\sin(2x+1)dx \leftrightarrow \sin(2x+1)=-\frac{1}{2}du $ Từ đó: $\int\limits \frac{\sin(2x+1)dx}{\cos^2(2x+1)}=-\frac{1}{2}\int\limits \frac{du}{u^2}=\frac{1}{2u}+C=\frac{1}{2\cos(2x+1)}+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số: $g(x)=\frac{e^{-x}}{e^x-e^{-x}} $ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} $ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits \frac{(e^x+e^{-x})dx}{e^x-e^{-x}}=\int\limits \frac{d(e^x-e^{-x})}{e^x-e^{-x}}=ln|e^x-e^{-x}|+C_1 $ $f(x)-g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=1 $ $\Rightarrow F(x)-G(x)=\int\limits dx=x+C_2$ Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)= ln|e^x-e^{-x}|+C_1\\ F(x)-G(x)=x+C_2 \end{cases} $ $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(ln|e^x-e^{-x}|+x)+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số phụ: $g(x)=2\cos^2x.\sin2x$ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=2(\sin^2x+\cos^2x)\sin2x=2\sin2x$ $\Rightarrow F(x)+G(x)=2 \int\limits \sin2xdx=-\cos2x+C_1$ $f(x)-g(x)=2(\sin^2x-\cos^2x)\sin2x=-2\cos2x.\sin2x=-\sin4x$ $\Rightarrow F(x)-G(x)=-\int\limits \sin4xdx=\frac{1}{4}\cos 4x+C_2 $ Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)=-\cos2x+C_1 \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{4}\cos 4x+C_2 \end{cases} \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(-\cos2x+\frac{1}{4} \cos4x)+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số phụ: $g(x)=\frac{\sin^4x}{\sin^4x+\cos^4x} $ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^4x+\cos^4x}=1 $ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits dx=x+C_1$ $f(x)-g(x)=\frac{\sin^4x-\cos^4x}{\sin^4x+\cos^4x}$ $=\frac{(\sin^2+\cos^2x)(\sin^2x-\cos^2x)}{(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}= \frac{\cos2x}{1-\frac{1}{2}\sin^22x } $ $\Rightarrow F(x)-G(x)=\int\limits \frac{2\cos2x}{2-\sin^22x}dx =-\int\limits \frac{d(\sin2x)}{\sin^22x-2} $ $=\frac{1}{2\sqrt{2} }\int\limits [\frac{1}{\sin2x -\sqrt{2} }-\frac{1}{\sin2x+\sqrt{2} } ]d(\sin 2x ) $ $=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\ln|\frac{\sin2x+\sqrt{2} }{\sin2x-\sqrt{2} } |+C_2 $ Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)=x+C_1 \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\ln\frac{\sin2x+\sqrt{2} }{\sin2x-\sqrt{2} } +C_2 \end{cases} $ $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2 \sqrt{2} }\ln\frac{\sin2x+\sqrt{2} }{\sin2x-\sqrt{2} } ) +C$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số phụ: $g(x)=\frac{\cos x}{\sin x-\cos x} $ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} $ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\limits \frac{d(\sin x-\cos x)}{\sin x-\cos x}=\ln|\sin x-\cos x|+C_1$ $f(x)-g(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}=1$ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits dx=x+C_2$ Ta được : $\begin{cases}F(x)+G(x)=ln|\sin x-\cos x|+C_1 \\ F(x)-G(x)=x+C_2 \end{cases} $ $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(ln|\sin x-\cos x|+x)+C $
|
|